Wenn fehlerbehaftete Messwerte in allgemeine Berechnungen (Funktionen der Messgrössen) einfliessen, verwendet man gerne eine Linearisierung der Funktion in der Umgebung des Messwerts. Dadurch kann die Variation des Messwerts direkt in eine symmetrische Variation des Funktionswerts umgerechnet werden.
Wenn beispielsweise die eine Seitenlänge x eines Quadrats gemessen wurde, kann daraus die Fläche A durch Quadrierung von x ermittelt werden. Angenommen der Messwert ist x=1m, dann wird die Fläche A in der Umgebung von x=1 durch eine Gerade angenähert:
Dadurch wird die tatsächliche Kurve nur angenähert. Mit der linearisierten Funktion kann aber der Fehler recht einfach abgeschätzt werden. So liefert die Steigung der Funktion an der gemessenen Stelle ( in unserem Beispiel 2) gerade den Faktor, mit dem der Fehler der Ausgangswerte multipliziert werden muss um den Fehler der Fläche zu erhalten. Allgemein gilt:
Falls nun der relative Fehler der Messung gross ist, ist die Linearisierung natürlich keine sehr genaue Methode. Anhand der folgenden Animation kann dies gut illustriert werden:
Die roten Linien zeigen den wahren Verlauf der Fläche bei Variation der Ausgangsgrösse, die blauen Werte den linearisierten Ersatz für die Fläche.
Wenn die gesuchte Grösse von mehreren unabhängigen und fehlerbehafteten Grössen abhängt, kann die Linearisierung für die einzelnen Variablen fortgesetzt angewendet werden. Das allgemeine Fehlerfortpflanzungsgesetz für den maximalen Fehler lautet nun:
Bei zwei unabhängigen Variablen z=f(x,y) kann diese Linearisierung noch mit der Tangentialebene dargestellt werden. Die folgende Animation zeigt die gekrümmte und farbige Oberfläche der Funktion zusammen mit der Tangentialebene, die durch Striche angedeutet ist:
Auch hier sieht man, dass bei grossen Fehlern der Ausgangsgrössen mit der Linearisierung keine gute Annhäherung an die wahre Funktion erreicht wird:
