Erzwungene Schwingungen

Falls ein schwingfähiges System durch eine einmalige Kraftwirkung angeregt wird, dann führt es in der Folge eine freie Schwingung mit seiner Eigenfrequenz durch. Bsp:

Falls aber von aussen eine periodische Kraft auf das System wirkt, dann übernimmt das System den Rhythmus der äusseren Anregung und schwingt so gut wie möglich mit: Das System führt erzwungene Schwingungen durch.

In den folgenden Beispielen sei die äussere Anregung sinusförmig. Sie soll über die Feder des Oszillators wirken.

Man beobachtet einen Einschwingvorgang: Die Auslenkung y(t) ist zunächst eineÜberlagerung der freien Schwingung mit der äusseren Anregung. Der Anteil der freien Schwingung klingt jedoch wegen der Dämpfung ab und es kommt nach wenigen Sekunden zu einem stationären Schwingungszustand, dessen Frequenz nun der Anregungsfrequenz entspricht.

Die Amplitude und Phasenlage der stationären Schwingung ist davon abhängig, wie gross die Anregungsfrequenz im Vergleich zur Eigenfrequenz ist.

  • Im ersten Beispiel ist die Anregungsfrequenz 4 rad/s, also kleiner als die Eigenfrequenz. Anregung und Federschwingung sind gleichphasig, die Federschwingung hat eine relativ kleine Amplitude:

  • Im zweiten Beispiel findet die Anregung ungefähr im selben Rhythmus wie die Eigenfrequenz statt (7 rad/s). Nun kann die Feder voll mitschwingen, und es kommt zu einer hohen Schwingungsamplitude. Intressanterweise ist nun Anregung und Auslenkung gerade eine Viertel Periode gegeneinander versetzt. :

  • Im dritten Beispiel ist die Anregungsfrequenz grösser als die Eigenfrequenz. Anregung und Auslenkung sind gerade gegenläufig (Phasenverschiebung von 180 grad). Die Amplitude ist wieder klein geworden:

    • Durch langsames Vergrössern der Anregungsfrequenz erhält man die sogenannte Resonanzkurve. Sie zeigt die Amplitude der stationären Schwingung als Funktion der Anregungsfrequenz:

    Diese Amplitudenresonanzkurve hat eine recht einfache Form. Durch Variation der Dämpfungskonstanten beta (beta=0.08 Hz....1.5 Hz) sieht man, wie sich die Resonanzkurve ändert:

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