Jede periodische Funktion y(t) lässt sich als Summe von harmonischen Schwingungen darstellen. Der erste Summand, die Grundschwingung, hat dieselbe Frequenz wie y(t), die übrigen Summanden (die Oberschwingungen) besutzen ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz.
Im folgenden Beispiel wird eine Rechteckschwingung schrittweise aus einer Summe harmonischer Schwingungen aufgebaut (Fouriersynthese):
Die Rechteckschwingung sehe wie folgt aus:
Für eine derartige Rechteckschwingung kann die Summe harmonischer Teilschwingungen vollständig angegeben werden:
Je höher der Summationsindex k wird, desto unbedeutender werden die Beiträge in der Gesamtsumme. Dies ist im nächsten Bild gezeigt: die Teilsummen mit N Summanden nehmen mit wachsendem N immer genauer die Form der Rechteckschwingung an:
Mit 50 Summanden ist die Rechteckschwingung schon sehr gut rekonstruiert, lediglich die Flankensteilheit und das Plateau ist noch nicht ganz optimal:
Mit welcher Amplitude die Teilschwingungen in der Summe vertreten sind, wird mit dem Schwingungsspektrum dargestellt, es zeigt die Amplituden als Funktion der Frequenz der harmonischen Teilschwingungen. Man nennt ein solches Spektrum auch die Fourier-transformierte der ursprünglichen Schwingung .
Die folgende Animation zeigt, wie die Teilsummen (rot) und die jeweils neu hinzugekommene neue Fourierkomponente (grün) sich langsam einer Rechteckschwingung annähern:
Die Fourieranalyse (Frequenzanalyse) ein Verfahren, mit dem man die genaue Zerlegung von y(t) in die Summe der harmonischen Teilschwingungen erhält.
Hier müssen Integrale gelöst werden:
Dies lässt sich wiederum numerisch durchführen:
Das Resultat derartiger Rechnungen, die Amplituden der harmonischen Teilschwingungen, werden meist als Spektrum a(f) dargestellt. Einige Beispiele von Schwingungen und ihren Spektren sind unten gezeigt:
